해석학 공부하기
오늘도 해석학 공부를 시작하도록 하겠다.
(WIP)
오늘은 드디어 실수체, real field 를 정의해보도록 하겠다! 그리고 정의된 실수체에서 성립하는 흥미로운 성질들에 대해 알아보고, 확장된 실수 체계에 대해서도 알아보도록 하겠다.
지난 내용 복습
(WIP)
The Real Field
1.19 Theorem
least-upper-bound-property 를 가지는 ordered field $\mathbb{R}$ 이 존재한다. 심지어, $\mathbb{R}$은 $\mathbb{Q}$를 subfield 로 지닌다.
해설
드디어 $\mathbb{R}$ 기호가 등장했다! 이 기호는 보통 실수체를 나타낼 때 많이 사용되는 기호니 잘 기억해두자.
이 문장에서 말하는 것은, LUBP를 가지는 ordered field가 존재한다는 이야기이다. 여기서 한 가지 주목해야 할 부분이 있는데, 이건 ‘Definition’ (정의) 가 아니라, ‘Theorem’ (정리) 이다. 앞에서 조금 잘못 말한 부분이 있는데, 우리가 한 것은 ‘실수체의 정의’ 가 아니라, ‘실수체가 존재한다는 정리’ 에 대해서 이야기 한 것이다.
이 정리를 증명하는 것이, 이번 소단원의 Appendix (부록) 부분에서 다루는 내용이다. 조금 내용이 까다롭고 어렵기 때문에 오늘은 이걸 일단 받아들이고 넘어가도록 하자. Appendix 부록을 다루는 날에 증명을 하고 넘어갈테니 걱정하지 않아도 된다.
두 번째 문장을 보면, $\mathbb{R}$이 $\mathbb{Q}$를 subfield로 가진다고 되어있는데, subset이라는 단어는 이미 아는 단어지만, subfield 라는 단어는 처음보는 단어라 혼란스러울 수 있다. 다행히도 책에서 설명을 해두었는데 의미는 다음과 같다
- $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ 이면서,
- $\mathbb{R}$에서 정의된 addition과 multiplication을 $\mathbb{Q}$의 원소들에 대해서 적용한 결과가 $\mathbb{Q}$ 내부적으로 정의된 연산의 결과와 일치하고,
- 양의 유리수는 $\mathbb{R}$의
positive한 원소들이다.
1.20 Theorem
- 만약 $x \in \mathbb{R}$, $y \in \mathbb{R}$ 이고 $x > 0$ 이라면, 아래 문장을 만족하는 양의 정수 $n$이 존재한다.
\[nx > y\]
- 만약 $x \in \mathbb{R}$, $y \in \mathbb{R}$ 이고 $x < y$ 이라면, $x < p < y$인 유리수 $p \in \mathbb{Q}$ 가 존재한다.
해설
여기서 이야기 한 두 정리는 불리는 특별한 방식이 있다. 첫 번째 정리는 archimedean property (아르키메데스 성질) 이라는 이름을 가지고 있고, 두 번째 정리는 특별히 이름이 있는지는 잘 모르겠지만, “$\mathbb{Q}$ is dense in $\mathbb{R}$” ($\mathbb{Q}$ 는 $\mathbb{R}$에서 조밀하다) 라고 표현되기도 한다.
우선 아르키메데스 성질에 대해 살펴보자. 이 문장에서 말하는 바는, 실수체에 존재하는 어떤 positive 한 $x$와 아무 $y$를 들고와도, 어떤 양의 정수 $n$을 $x$에 곱해서 $y$보다 크게 만들 수 있다는 말이다. 예를 들면, $x$로 $3$으로 잡고, $y$를 $10000$ 으로 잡아도, $x$에다가 $n=3334$를 곱해주면, $nx=10002>y=10000$이 되어 식을 만족한다. 증명은 아래와 같다.
archimedean property 증명
증명을 하기 위한 방식으로 귀류법을 이용하도록 하겠다. 우선 결론을 부정하여, $nx \leq y$ 라고 하자. 이 식은 모든 양의 정수 $n$에 대하여 성립하는데, 어떤 집합 $A$가 모든 $nx$들의 집합이라고 하자. $A$의 원소인 $nx$들은 모두 $nx \in \mathbb{R}$ 이므로, $A \subset \mathbb{R}$ 이고, $A$의 모든 원소 $nx$에 대하여 $a \leq y$가 성립하므로 $y$는 $A$의 upper bound 이다. 여기까지는 익숙한 개념들을 사용하여 얻어낼 수 있는 정보들이다.
여기서 우리는 $\mathbb{R}$이 LUBP를 가진다는 사실을 기억해야 한다. 앞서 이야기 한 것 처럼 $A \subset \mathbb{R}$ 이고 ($y$에 의해) bounded above 되어 있으므로, $A$는 supremum을 가지게 된다. 이 supremum을 $\alpha = \sup A$로 나타내자.
우리의 가정에 의해 $x > 0$이므로, $-x < 0$ 이고, $-x + \alpha = \alpha + (-x) = \alpha - x < \alpha$ 이다. 우리는 여기서 $\alpha$가 $A$의 supremum 이라는 점을 상기하며, supremum의 정의에 따라, $\alpha - x$는 $A$의 upper bound가 아니게 된다.
이 말은, 어떤 양의 정수 $m$이 존재해서 $\alpha - x < mx$를 만족시킨다는 의미가 된다. 이 부등식의 양변에 $x$를 더해주면, $\alpha < mx + x = (m + 1)x$ 가 된다. 여기서 문제가 발생한다.
$m$이 양의 정수이면, $m + 1$도 양의 정수이다. 따라서, $(m + 1)x$도 $A$에 포함되고, supremum은 정의에 따라 upper bound 이므로, $(m + 1)x \leq \alpha$를 만족시켜야 한다. 이는 $\alpha < (m + 1)x$ 라는 사실과 정면으로 모순된다.
결론을 부정했을 때 모순점이 발생한다는 것을 보였으므로, 우리는 $nx > y$를 만족시키는 $n$이 있다는 사실을 증명하였다. $\blacksquare$
이번엔 두 번째 정리를 살펴보자. 아무 두 실수를 잡아도, 그 사이에 있는 어떤 유리수가 존재한다는 의미이다. 물론 그 두 실수가 같아서는 안된다. 이 내용은 수학에 별 관심이 없었던 사람이라면 딱히 생각해본 적이 없을 수 있는 내용일 것이다. 슬슬 우리가 당연하다고 생각했던 이외의 내용들도 나오기 시작하는 것이다! 이제 이 정리를 증명해보도록 하겠다.
"$\mathbb{Q}$ 는 $\mathbb{R}$에서 조밀하다" 증명
이 정리의 증명은 앞에서 증명한 아르키메데스 성질을 활용한다. 자세히 읽지 않았다면 의미가 무엇인지 정도는 읽고오길 바란다.
이 증명은 귀류법을 사용하지 않은 직접적인 증명이 가능하다. 따라서, 결론을 부정한다거나 모순을 찾는다거나 할 필요는 없고, 정리의 전제, 알고있는 정의나 성질들을 활용하여 증명을 진행할 것이다.
우선 $x < y$ 이므로, $x + (-x) = 0 < y + (-x) = y - x$ 이다. 여기서 archimedean property를 이용하면, $n(y-x) > 1$를 성립되게 하는 어떤 양의 정수 $n$이 존재한다. 여기서 도대체 어떻게 archimedean property를 사용했는가 하면, 원래 정리에서 $x$의 자리에 $y - x$를 넣고, $y$의 자리에 $1$을 넣으면 된다. 얻어낸 식을 조금 조작해보면, $n(y - x) = ny - nx > 1$ 이 되고, $ny - nx + nx = ny > 1 + nx$ 를 얻게 된다. 이 식은 후반에 다시 사용될 것이다.
이번에는 조금 다른 방식으로 아르키메데스 성질을 사용해보도록 하겠다. $x$를 $1$로, $y$를 $nx$로 대체하면, $m_1 > nx$를 만족시키는 양의 정수 $m_1$이 존재한다는 것을 보일 수 있고, $x$를 $1$로, $y$를 $-nx$로 대체하면, $m_2 > -nx$를 만족시키는 양의 정수 $m_2$가 존재한다는 것을 보일 수 있다. 두 번째 식을 조작하면, $m_2 + (-m_2 + nx) = (m_2 + (-m_2)) + nx = nx > + -nx + (-m_2 + nx) = -nx + (nx - m_2) = (-nx + nx) - m_2 = -m_2$ 가 되어 $-m_2 < nx$가 된다. 첫 번째 식과 함께 나열하면, $-m_2 < nx < m_1$ 이 된다.
이건 $nx$가 임의의 두 정수 $-m_2$ 와 $m_1$의 사이에 놓인다는 것을 의미하는데, $m_1$과 $m_2$는 모두 양의 정수이므로, $-m_2 \neq m_1$이다. 따라서 우리는 $m - 1 \leq nx < m$ 이면서 $-m_2 \leq m \leq m_1$ 인 어떤 정수 $m$ 을 찾을 수 있다. 갑자기 $m_1$ 이랑 $m_2$에 대해서 이야기 하다가 갑자기 $m$이 튀어나오는지 혼란스러울 수 있다. 아래 그림과 함께 설명하도록 하겠다.
$nx$가 정수인 경우에는, $-m_2$가 $nx$가 있는 곳까지 간 뒤, 그 값을 $m-1$로 잡으면 된다. 그렇다면 $nx$는 당연히 $m$보다 작아지게 되고, $m-1 \leq nx < m$을 만족시키게 된다.
$nx$가 정수가 아닌 경우에는, 그냥 범위를 충분히 좁히다 보면, $m-1 \leq nx < m$를 만족시키는 $m$을 찾을 수 있게 된다. 참고로 두 경우 모두 $m$을 찾는 과정에서 $-m_2 \leq m \leq m_1$을 만족하게 된다.
지금까지 우리가 얻어낸 정보를 정리해보면, $ny > 1 + nx$ 를 만족시키는 어떤 양의 정수 $n$이 존재한다는 사실과, $m - 1 \leq nx < m$을 만족시키는 어떤 정수 $m$이 존재한다는 사실이다. 두 번째 식을 조금 조작해보면, $m - 1 + 1 = m \leq 1 + nx < m + 1$ 이 된다.
앞 부분을 뗴어다 보면, $m \leq 1 + nx$ 인데, 기존의 식에서는 분명 $nx < m$ 라고 되어있다. 이 두 식을 종합해보면, $nx < m \leq 1 + nx$가 된다. 그리고 우리가 맨 처음에 얻어낸 식과도 종합해보면, $$nx < m \leq 1 + nx < ny$$ 가 된다는 것을 알 수 있다. 이 식에서 $1 + nx$ 부분을 덜어내면 $nx < m < ny$가 되고, $n$의 양의 정수라는 사실을 이용하여 order를 유지한 채로 모든 식에 각각 $n$을 나누어 주면, $x < \frac{m}{n} < y$ 가 된다는 사실을 발견할 수 있다! 🥳🥳🥳
이제 증명이 거의 다 마무리 되었다. 우리가 증명하고자 한 것은 임의의 두 실수 $x$와 $y$에 대하여 $x < y$ 일 때 $x < p < y$를 만족시키는 유리수 $p$가 존재한다는 사실을 증명하고자 하였다. 내가 말하고 싶은 것은, $\frac{m}{n}$이 우리가 그토록 찾아다닌 $p$라는 사실이다.
$m$과 $n$은 정수이면서, $n$은 positive 이기 때문에 $0$이 아니므로 $\frac{m}{n}$은 당연히 유리수가 된다. 이것으로 증명은 완료된다. 그런데, 이 과정에서 나는 한 가지 의문이 들었었다. "$m$과 $n$이 서로소임을 보일 수가 있는가?" 에 대한 내용이었다.
$\sqrt{2}$가 무리수임을 증명하는 과정에서는 분모와 분자의 두 정수가 서로소임을 가정하였고, 그것이 모순을 발생시킴을 보였다. 그런데, 교재에서도 그렇고, 내가 생각해본 바에서도 $m$과 $n$이 서로소임을 보일 방법은 전혀 떠오르지 않았다. 결국 얻어낸 해답부터 말하자면, "서로소일 필요가 없다" 라는 점이다.
유리수의 표현 자체는 분모와 분자가 서로소여야 함을 강제하지 않는다. $\sqrt{2}$ 가 무리수임을 보이는 과정에서는 "서로소인 형태로도 나타낼 수 있고, 그렇게 나타낸 분모와 분자에 대하여" 이야기를 한 것이었다. 그렇기 때문에, 이 정리의 증명에서는 신경을 쓸 필요가 없었던 것이다. 그리고 이 의문이 해소된 시점에서, 증명은 끝나게 된다. $\blacksquare$
이로써 두 정리의 증명이 모두 마무리되었다. 본격적으로 나온 어려운 증명들이므로, 이해가 잘 가지 않는다면 시간을 들여 천천히, 여러번, 직접 써보면서 이해해볼 것을 추천한다.
1.21 Theorem
모든 실수 $x > 0$와 모든 정수 $n > 0$에 대하여, $y^n = x$을 만족시키는 실수 $y$가 딱 하나 존재한다.
이 $y$를 $\sqrt[n]{x}$ 또는 $x^{1/n}$과 같이 표기한다.
해설
이 정리가 말하고자 하는 것은, 어떤 실수를 $n$번 곱해서 ($0$보다 큰) $x$라는 실수를 결과로 얻어내고 싶은데, 그것이 가능하고, 그 ‘어떤 실수’가 ‘딱 하나’ 존재한다는 의미이다. 증명은 아래와 같다.
증명
$t^n < x$를 만족시키는 모든 '양의 실수' $t$들을 모두 모아놓은 집합을 $E$라고 하자.
어떤 $t_1 = x / (1 + x)$에 대해 생각해보자. 이 $t_1$는 $0 < t_1 < 1$ 이므로, ${t_1}^n \leq t_1$ 이다. 또한 $x > 0$ 이므로 $1 + x > 1$ 이고, $x / (1 + x) = t_1 < x$를 만족한다. 이 결과들을 조합해보면, ${t_1}^n \leq t_1 < x$가 되므로, $t_1 \in E$ 이다. 여기서 우리는 $E$가 공집합이 아니라는 사실을 알 수 있다.
이번에는 어떤 $t_2 > 1 + x$에 대해서 생각해보자. $x > 0$ 이라서 $1 + x > 1$ 이므로, $t_2 > 1$이고, 따라서 ${t_2}^n > t_2 > 1 + x > x$ 이다. ${t_2}^n > x$이므로, $t_2 \notin E$이다. $1 + x < t_2$ 라는 점을 생각해보면, $1 + x$는 $E$의 upper bound 라는걸 알게된다.
우리가 $E$에 지금까지 얻어낸 정보는 $E$는 empty set이 아니고, $E$에는 upper bound가 존재하기 때문에 bounded above 되어있다는 것이다. 그런데, $E$의 원소들은 모두 $\mathbb{R}$의 원소이기도 하므로, $E \subset \mathbb{R}$ 이게 된다. 여기서 지난번 글의 내용을 떠올려보자. $\mathbb{R}$은 LUBP를 가지고 있다고 했었는데, 마침 $E$는 $\mathbb{R}$의 subset이지 않는가? 바로 그거다! $E$에는 supremum이 존재한다!
지금부터 $\alpha = \sup E$로 표기하겠다. 여기서 내가 하고 싶은 주장은, $\alpha$가 우리가 그토록 찾던 $y$라는 것이다. 우리는 귀류법을 이용해서 이를 증명할 것이다. 먼저, $\alpha^n = y^n = x$ 라는 결론을 부정하여, $\alpha^n < x$ 이거나 (OR), $\alpha^n > x$ 라고 가정하자.
우리가 해야 할일은 이런 전제는 모순을 일으킨다는 것을 보이는 것이다. 이 조건문은 OR 로 묶여있으므로, 둘 중 어느쪽으로 가정하더라도 모순이 보인다는 것을 보여야 한다. 한 번에 할 수는 없다. 왜냐하면 $\alpha^n$이 $x$보다 큰 동시에 작을 수는 없기 때문이다.
시작하기 전에, 우리는 한 가지 정보를 만들고 가겠다. 우선 이 식을 살펴보자. $$b^n - a^n = (b - a)(b^{n-1} + b^{n-2} a + \cdots + a^{n-1})$$ 이 식이 익숙한 사람도 있을 것이고, 처음보는 사람도 있을 것이다. 이 식은 인수분해를 통해 얻어지는 식으로, 다른 곳에서 잘 설명해둔 곳이 많으니 지금은 생략하도록 하겠다. 여기서 이 등식은 $a$와 $b$가 무엇이던 간에 관계없이 성립하는데, 그렇다면, $0<a<b$ 인 경우를 생각해보자. 등식의 우변에 두 번째 괄호 부분을 보면, 여러 개의 항이 더해지는 것을 볼 수 있는데, 항이 뒤로 갈수록 $b$가 하나 덜 곱해지고 $a$가 하나 더 곱해지는 모습을 볼 수 있다.
여기서 우리는 $a < b$ 라고 했으니까, 항이 갈 수록 점점 작아지는 것을 확인할 수 있다. 그렇다면, 첫 번째 항을 제외한 나머지 $n-1$ 개의 항들은 모두 $b^{n-1}$ 보다 작아지게 되는 것이다. 그러면 우리는 이런 부등식을 얻을 수 있게 된다. $$nb^{n-1} = b^{n-1} + b^{n-1} + \cdots + b^{n-1} > b^{n-1} + b^{n-2} a + \cdots + a^{n-1}$$ 첫 번째 항은 같다고 해도, 두 번째 항부터는 계속 더 큰 항을 더했으니 당연히 더 커지는 것이다. 이제 가운데 부분을 생략하면 식은 이렇게 된다. $$nb^{n-1} > b^{n-1} + b^{n-2} a + \cdots + a^{n-1}$$ 여기에 양쪽에 $b-a$ 를 곱해줄 것이다. 참고로 우리는 $0 < a < b$ 인 경우에 대해서 이야기 하고 있기 때문에, 곱해준다고 해서 부등호의 방향이 변하지는 않는다. $$(b-a)nb^{n-1} > (b-a)(b^{n-1} + b^{n-2} a + \cdots + a^{n-1}) = b^n - a^n$$ 이 식에서 가운데 부분을 생략해주고 위치만 바꿔주면, 우리는 이 부등식을 얻게 된다. $$b^n - a^n < (b-a)nb^{n-1}$$ 이제 우리가 필요한 부등식은 얻었다. 다시 증명으로 넘어가도록 하겠다. 참고로 우리가 지금 해야할 일은, 이 부등식을 바탕으로, 아까 말했던 $y^n = x$가 성립한다는 것을 보이는 것이다. 귀류법을 이용할 것이며, $y^n > x$ 일 때와 $y^n < x$ 일 때 모두 모순을 일으킨다는 것을 보여야 한다.
우선 $y^n < x$ 인 경우를 가정하자. 먼저, 아래 식을 만족시키는 어떤 $0 < h < 1$ 인 $h$를 잘 잡아보자. $$h < \frac{x - y^n}{n(y+1)^{n-1}}$$ 조금 전에도 막 이상한 부등식을 만들었으면서 또 갑자기 무슨 $h$를 찾느니 하는 불만이 생길 수 있다. ~~(사실 내가 그런 불만이 생겼다.)~~ 하지만 조금만 더 버티면 엄청난 결과를 얻어낼 수 있으니 참고 따라와주길 바란다. 일단 이런 $h$ 를 잡는다는게 무슨 말인가 하면, 말 그대로 내가 말한 조건들을 만족하는 적당한 $h$ 를 상상해보자는 것이다. 값이 어떻게 되는지 정확히 알 필요는 없다. 핵심은, 그런 $h$ 를 잡아서 식을 조작하는데 사용하는 것이다.
이런 적당한 $h$를 잡기 위해서는 이러한 $h$가 존재한다는 것을 보여야 한다. 그리고 그것은 어렵지 않다. 먼저 부등식의 오른편에 있는 분자 $x - y^n$ 을 살펴보면, 우리의 가정에 따라 $y^n < x$ 이기 때문에, $x - y^n > 0$ 이 되고, 이는 분자가 양수임을 의미한다.
그 다음은, 분모를 살펴보자. $n(y+1)^{n-1}$ 이라고 되어있는데, $n$은 $0$ 보다 큰 정수이다. 이제 여기서 $y$가 양수라는 사실만 보이면, $y + 1$은 $1$ 보다 크고, 그 $1$보다 큰 수를 $0$ 번 이상 곱했기 때문에 $(y+1)^{n-1} \geq 1$ 이 되고, 결국 $n(y+1)^{n-1} \geq 1$이 된다는 것을 말할 수 있다.
그렇다면 어떻게 해야 $y > 0$ 임을 보일 수 있을까? 우리는 $y$가 무엇인지 이야기 하는 과정에서, 이미 $y$가 양수임을 보였다. 기억을 되살려보면, $y = \sup E$ 였다. $E$ 집합이 무엇인가 하면, $t^n < x$ 를 만족시키는 모든 양의 실수 $t$의 집합이다. supremum 의 정의에 따라 $y$는 이러한 모든 $t$ 보다 크거나 같으므로, $y$ 도 마찬가지로 양수인 것이다.
이걸로 우리는 분자는 $0$보다 크고, 분모는 $0$보다 크거나 같다는 것을 보였다. 따라서 다음과 같은 식이 성립하게 된다. $$0 < \frac{x - y^n}{n(y+1)^{n-1}}$$ 저 분수가 만약 1보다 크거나 같다면, $h$ 로 $0$ 과 $1$ 사이의 적당한 수를 잡으면 되는 것이고, $1$ 보다 작다고 하더라도, 그 분수가 $0$ 보다는 큰 이상, 두 수 사이에 있는 적당한 $h$ 를 찾아낼 수 있다.
이제 우리는 적당한 $h$가 존재한다는 것을 보였다. 이제는 이 $h$를 사용하여, $y^n < x$ 라고 가정했을 때 모순이 생긴다는 것을 보이도록 하겠다.
아까 만들었던 부등식 $b^n - a^n < (b-a)nb^{n-1}$ 에서 $a$ 를 $y$로, $b$ 를 $y + h$로 바꾸면 이런 식이 나온다. $$(y+h)^n - y^n < (y+h-y)n(y+h)^{n-1} = hn(y+h)^{n-1}$$ 여기서 맨 오른쪽의 식을 보자. $h$, $n$, 그리고 $(y+h)^{n-1}$ 이 곱해져 있는 것을 볼 수 있는데, 이들은 모두 $0$ 보다 크다. 따라서, $hn$ 은 $0$ 보다 크다. 이 사실을 염두에 두고 $(y+h)^{n-1}$ 부분을 살펴보자.
이 부분은 $y+h$ 가 $n - 1$ 번 곱해져 있는 모습인데, $h$ 가 $1$ 보다 작다는 사실을 기억하는가? 그 점을 이용하면, $y+h < y+1$ 이라는 부등식을 얻어낼 수 있다. $y+h$ 와 마찬가지로 $y+1$ 도 $0$ 보다 크기 때문에, 각각 여러 번 곱해도 두 부등호의 방향은 변하지 않는다. 따라셔, $(y+h)^{n-1} < (y+1)^{n-1}$ 인 것이다. 그리고 조금 전에 $hn > 0$ 임을 보였고, 이걸 방금 얻어낸 부등식에 접목 시키면, $hn(y+1)^{n-1} < hn(y+1)^{n-1}$ 이 된다.
우리가 이렇게 얻어낸 부등식을 원래의 것과 합치면 이런 결과를 얻게 된다. $$(y+h)^n - y^n < hn(y+h)^{n-1} < hn(y+1)^{n-1}$$ 그리고 여기서, 우리는 $h$에 대한 부등식을 변형하여 아래처럼 새로운 부등식을 얻어낼 수 있다. $$h < \frac{x - y^n}{n(y+1)^{n-1}}, \quad h \cdot n(y+1)^{n-1} = hn(y+1)^{n-1} < \frac{x - y^n}{n(y+1)^{n-1}} \cdot n(y+1)^{n-1} = x - y^n$$ 이 부등식을 조금 전의 부등식과 합치면, 최종 부등식은 이렇게 된다. $$(y+h)^n - y^n < hn(y+h)^{n-1} < hn(y+1)^{n-1} < x - y^n$$ 이 최종 부등식에 가운데 부분을 들어내면 $(y+h)^n - y^n < x - y^n$ 가 되는데, 이제 양쪽에 $y^n$ 을 더해주면, $(y+h)^n < x$ 가 된다.
이제 거의 다 왔다. 아까 정의했던 집합 $E$의 정의에 따라, $y+h \in E$ 가 되어야 한다. 왜냐하면, $(y+h)^n < x$ 을 만족시키기 때문이다. 우리가 그토록 찾아 헤메던 모순은 여기서 발생한다! 우리는 분명 $y = \sup E$ 라고 했고, supremum의 정의에 따라, $y + h \leq y$ 여야 하는데, $h > 0$ 이기 때문에 $y + h > y$ 여야 한다. 이 둘은 동시에 성립할 수 없기 떄문에, 모순이 발생한다는 것을 알 수 있다.
그래서 일단 $y < x^n$ 일 때 모순이 생긴다는 것은 보였다. 이제 남은건, $y > x^n$ 일 때이다. 이 경우에도 모순이 생긴다는 것을 보여야 한다. 다행히, 이번에도 아까 만들어낸 정보를 재활용할 것이고, $h$ 대신 $k$ 만 잘 잡으면 비슷하게 증명할 수 있기 때문에 글의 길이는 좀 더 짧을 것이다.
$y^n > x$ 라고 가정하고, 아래 식과 같은 어떤 $k$를 생각해보자. $$k = \frac{y^n - x}{ny^{n-1}}$$ 이건 뭐 딱히 존재하는지 존재하지 않는지 증명할 것도 없다. 그냥 저 식을 $k$로 나타내기로 한 것 뿐이다. 한 가지 따질 점이 있다면, 분자와 분모가 각각 양수인지, 0인지, 음수인지 정도 일 것이다. 우선 분자를 먼저 살펴보자.
분자는 $y^n - x$이라고 되어있는데, 이는 우리의 가정 $y^n > x$ 에 따라, $0$ 보다 큰 양수임을 알 수 있다. 달리 말하면, $y^n - x > 0$ 이기 때문에 분자는 양수인 것이다.
이번에는 분모를 살펴보도록 하자. $ny^{n-1}$ 이라고 되어있는데, $n$ 은 양의 정수이고, $y > 0$ 이기 때문에 분모 역시 분자처럼 양수이다. $n$ 이 양의 정수인거는 애초에 $n$이 처음 나올 때 부터 그렇게 약속을 했던 것이고, $y > 0$ 인 것은 조금 전에 다루었던 내용이다. 여기서도 조금 전에 증명했던 방식과 같은 방식으로 $y > 0$ 임을 보일 수 있다.
여기까지 얻어낸 결론은, 분자와 분모 모두 양수라는 사실이고, 이는 $k > 0$ 이라는 결론으로 이루어진다. 여기서 우리는 한 가지 정보를 더 얻고 갈 것이다. 그것은 $k < y$ 라는 사실이다.
이것을 보이는 것은 그렇게 어렵지 않다. 우선, $y^n - x < ny^n$ 이라는 부등식에 대해서 먼저 생각해보자. 조금만 생각해보면, 이 부등식은 당연히 성립한다는 것을 알 수 있다. $n$은 양의 정수이기 때문에, 아무리 작아도 $1$ 이다. 따라서, $y^n \leq ny^n$ 인 것이다. 그런데, 우리가 이야기하고 있는 부등식을 보면, $y^n$에서 $x$를 뺀 것이 왼쪽 편에 있는 식이다. 당연하게도 $y^n - x < y^n$ 이고, 이를 이어붙이면 $y^n - x < y^n \leq ny^n$ 이 된다. 따라서, $y^n - x < ny^n$이고, 양변을 $ny^{n-1}$ 로 나누어주면 다음과 같은 식이 성립한다. $$\frac{y^n - x}{ny^{n-1}} = k < \frac{ny^n}{ny^{n-1}} = y$$ 따라서, $0 < k < y$가 성립한다. 이제 필요한 정보는 모두 모였다... 어떤 문자 $t$ 딱 하나만 더 잡으면 말이다. $t \geq y - k$를 만족하는 $t$에 대해 생각해보자. 이 $t$를 잘 이용하면, 이런 부등식을 얻어낼 수 있다. $$y^n - t^n \leq y^n - (y-k)^n$$ 이제, 우리가 아까 전에 만들었던 부등식 $b^n - a^n < (b-a)nb^{n-1}$ 에서 $a$를 $y - k$로, $b$를 $y$로 바꾸면, 이런 부등식을 얻을 수 있다. $$y^n - t^n \leq y^n - (y-k)^n < (y-(y-k))ny^{n-1} = kny^{n-1} = \left(\frac{y^n - x}{ny^{n-1}}\right)ny^{n-1} = y^n - x$$ 가운데를 싹 없애면, $y^n - t^n < y^n - x$ 이렇게 된다. 이제 양쪽에서 $y^n$ 을 빼주고 부호를 바꾸어 부등호의 방향을 뒤집어 주면, $t^n > x$ 라는 결론을 얻게 된다.
이 $t$는 $E$의 정의에 따라, $t \notin E$ 이다. 그런데, 이러한 $t$ 들의 특징은 $t \geq y - k$ 이라는 것이고, 이것은 $y - k$가 $E$의 upper bound 라는 의미가 된다. 여기가 모순이 발생하는 지점이다. $y - k < y$인데, 우리는 분명 $y$를 $E$의 supremum 이라고 했었다. supremum 은 upper bound 중에서 제일 작은 것인데, 더 작은 $y - k$가 $E$의 upper bound 라고 이야기를 하는 것이다. 이것은 명백히 모순된다.
우리는 길고 긴 여정을 거쳐 $y^n < x$ 일 때와 $y^n > x$ 이라고 가정할 때 모두 모순이 발생함을 보였다. 그렇다면 남는 가능한 경우는 한 가지 밖에 없다. 바로, $y^n = x$인 것이다. $\blacksquare$
이걸로 정리의 증명이 완료되었다. 지금까지 한 증명중에 가장 길고 복잡한 증명이기 때문에, 한 번에 이해하지 못했어도 괜찮다. 시간을 들여 차분히 이해하고 따라오길 바란다. 당장 다시 읽기 너무 힘들다면 한숨 자고 와서 맑은 정신으로 다시 읽는 것도 도움이 될 것이다.
바로 다음 내용으로 넘어가고 싶지만, 여기서 ‘따름 정리’가 하나 있다. 이것도 짚고 넘어가도록 하자.
Corollary of 1.21
만약 $a$와 $b$가 어떤 양의 실수들이고 $n$이 양의 정수라면, 다음 식이 성립한다.
\[(ab)^{1/n}=a^{1/n}b^{1/n}\]
해설
이 따름 정리가 말하는 것은, 어떤 수의 ‘제곱’들이 묶이거나 분배될 수 있음을 보인다. 일반적인 자연수로도 되는 것이기 때문에, 어느정도는 와닿는 내용일 것이다. 증명은 다음과 같다.
증명
이 증명에서는 앞에서 이미 증명을 완료한 정리 1.21을 활용할 것이다. 혹시 앞의 정리 내용을 읽고 오지 않았다면, 적어도 그것이 무슨 정리인지 정도는 읽고 오도록 하자.
$\alpha = a^{1/n}$, $\beta = b^{1/n}$ 라고 하자. 그러면 `field` 의 곱셈 공리 중 두 번째 공리인 M2에 따라서 곱셈의 교환법칙이 성립하므로 다음 식도 성립한다. $$ab = \alpha^n \beta^n = (\alpha\beta)^n$$ 왜 갑자기 이런 결론이 나오는지 혼란스러울 수 있다. 지금부터 각 등호가 어떻게 성립하는지 하나씩 설명하도록 하겠다.
우선 $a$와 $b$는 정리 1.21에 따라 각각 $\alpha^n$과 $\beta^n$과 같다. 이 이야기가 잘 와닿지 않는다면, 정리 1.21에서 $y$에 각각 $\alpha$와 $\beta$를, $x$에 각각 $a$와 $b$에 대입해서 생각해보면 좀 더 이해가 갈 것이다.
첫 번째 등호는 방금 이야기 했던 것 처럼 $a=\alpha^n$ 이고 $b=\beta^n$ 이기 때문에 둘이 곱하면 자연스럽게 $ab = \alpha^n \beta^n$ 가 나온다. 여기까지가 첫 번째 등호가 성립하는 이유이다.
두 번째 등호가 성립함을 보이기 위해서는, $\alpha^n$ 과 $\beta^n$ 은 각각 $\alpha$와 $\beta$가 $n$번 곱해진 것임을 기억해내야 한다. 식으로 표현하면 이런 느낌이다. $$\alpha^n \beta^n = \alpha\alpha\alpha\cdots\beta\beta\beta\cdots$$ 참고로 $n$이 몇인지 모르기 때문에 $\cdots$ 기호로 표시해둔 것이다. 만약 $n$이 3 이하라면, 저 $\cdots$ 는 사라져야 하고, $n$이 $3$보다도 작다면, 각 문자의 개수도 줄어들어야 한다.
어쨌든 저렇게 쭉 나열해서 썼기 때문에 계속 문자 위치를 바꿔치기 할 수 있다. 이 바꿔치기 할 수 있다는게 M2의 내용이기도 하다. 그렇게 열심히 바꿔치기를 진행하다 보면, 이런 결론을 얻는다. $$\alpha^n \beta^n = \alpha\alpha\alpha\cdots\beta\beta\beta\cdots = \alpha\beta\alpha\beta\alpha\beta\cdots$$ 이번엔 문자의 개수나 $\cdots$ 에 대한 이야기는 생략하겠다. 이제 남은 건, 괄호를 씌워주는 일이다. 저런 표현법은 사실 괄호가 생략된 표현법이고, 실제로 괄호를 보면, 이런 느낌으로 되어있다. $$\alpha\alpha\alpha\cdots\beta\beta\beta\cdots = \alpha\beta\alpha\beta\alpha\beta\cdots=(((((\alpha\beta)\alpha)\beta)\alpha)\beta)\cdots$$
이제 여기서 M3를 활용하면 된다. 괄호를 치는 영역을 이리저리 잘 바꿔가면 이러한 결과를 얻어낼 수 있다. $$(((((\alpha\beta)\alpha)\beta)\alpha)\beta)\cdots = ((((\alpha\beta)(\alpha\beta))\alpha)\beta)\cdots = (((\alpha\beta)(\alpha\beta))(\alpha\beta))\cdots$$ 이걸 계속 반복하면 $(\alpha\beta)$ 가 반복되는 형태의 식을 얻어내게 되고, 이걸 그 표기법에 따라 줄이면, $(\alpha\beta)^n$ 이 된다. 이걸로 두 번째 등식이 성립하는 것을 보일 수 있다.
여기까지 왔으면 이런 의문이 들 수 있다. 등식이 성립한 걸 보인건 좋은데, 이걸 보여서 대체 뭘 어쩌겠다는 건가? 그건 남은 증명을 보면 이해할 수 있을 것이다.
다시 정리 1.21을 살펴보자. 우리가 얻어낸 식에 따르면, $(\alpha\beta)^n = ab$ 인데, 정리 1.21에서 $y$에 $\alpha\beta$를, $x$에 $ab$를 대입해보면, 이 $\alpha\beta$는 $(ab)^{1/n}$ 과 같다는 결론이 나오게 된다. 즉 $\alpha\beta = a^{1/n} b^{1/n} = (ab)^{1/n}$ 이 되는 것이다! 여기서 $\alpha$ 와 $\beta$ 의 역할은 끝나게 된다. 등식에서 앞의 부분을 제거하면, 우리가 원하던 결과인 아래의 식이 나오게 된다. $$a^{1/n} b^{1/n} = (ab)^{1/n}$$ 여기서 순서만 뒤집으면 따름 정리의 증명이 완료된다. $\blacksquare$
이 따름 정리의 증명은 우리가 조금 전에 증명해두었던 정리 1.21의 내용을 사용하였다. 그렇기 때문에 ‘따름 정리’라는 이름이 붙는 것이다. 이제 다음 내용으로 넘어가도록 하겠다.
1.22 Decimals
어떤 $x > 0$가 실수라고 하자. 그리고 어떤 $n_0$가 $n_0 \leq x$ 를 만족시키는 가장 큰 정수라고 하자. ($\mathbb{R}$ 의 archimedean property 에 의해 이러한 $n_0$이 존재할 수 있다.) $n_0$, $n_1$, … , $n_{k - 1}$를 선택한 후, $n_k$를 다음 식을 만족시키는 가장 큰 정수라고 하자.
\[n_0 + \frac{n_1}{10} + \cdots + \frac{n_k}{10^k} \leq x\]
$E$를 아래와 같은 수들을 모아둔 집합이라고 하자.
\[n_0 + \frac{n_1}{10} + \cdots + \frac{n_k}{10^k} \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots)\]
그러면, $x=\sup E$이다. $x$의 decimal expansion은 다음과 같다.
\[n_0 \cdot n_1 n_2 n_3 \cdots\]
해설
여기서 소개한 Decimal은 실수를 나타내는 표현법이다. 흔히 생각하는 소수점을 이용한 표기법이라고 생각하면 된다. 예를 들어, $\sqrt{2}$ 를 나타내기 위해서 $1.41421356 \cdots$ 와 같이 나타내는 방식인 것이다.
이러한 $\sqrt{2}$ 같은 무리수는 유한한 개수의 숫자로는 나타낼 수가 없이, 무한히 계속 이어지게 된다. 그래서 보통 일정 자리수까지 쓰고, $\cdots$ 같은 기호로 뒤에 계속 이어짐을 나타내기도 한다. 그렇다면, 소수점 $n$ 번째 자리의 숫자에 쓰는 숫자는 어떻게 결정되는 것일까?
결론부터 말하자면, ‘골랐을 때 기존의 수보다는 커지지 않게 하는 최대의 숫자’를 선택한다고 생각하면 된다. $\sqrt{2}$ 의 예시를 들어보도록 하겠다.
우선 소수점으로 넘어가기 전에, $\sqrt{2}$ 보다는 작은 최대의 정수를 먼저 선택한다. $2$는 $\sqrt{2}$ 보다 크기 때문에 선택될 수 없고, $1$ 은 $\sqrt{2}$ 보다 작은 최대의 정수임으로, $1$을 먼저 적는다.
\[\sqrt{2} = 1.\cdots\]
그 다음에는, $1.? \leq \sqrt{2}$ 를 만족 시키는 ?의 최대값을 찾아야 한다. $1.5$ 부터는 $\sqrt{2}$ 보다 커지기 때문에 ?는 5 이상일 수 없고, $1.4$는 $\sqrt{2}$ 보다 작은 $1.?$ 중에 최대이기 때문에, ?의 값으로는 $4$가 들어가야 한다.
\[\sqrt{2} = 1.4\cdots\]
그 다음에는, $1.4? \leq \sqrt{2}$ 를 만족 시키는 ?의 최대값을 찾아야 한다. $1.42$ 부터는 $\sqrt{2}$ 보다 커지기 때문에 ?는 5 이상일 수 없고, $1.41$는 $\sqrt{2}$ 보다 작은 $1.4?$ 중에 최대이기 때문에, ?의 값으로는 $1$이 들어가야 한다.
\[\sqrt{2} = 1.41\cdots\]
이러한 과정을 계속 반복하여 표현하게 되면, 그것이 decimal 표현인 것이다. 이는 물론 무리수 뿐만 아니라 유리수에서도 적용할 수 있다. 예를 들어, $1/3 = 0.333333 \cdots$ 로 표현하거나, $21/2 = 10.500000 \cdots = 10.5$ 처럼 뒤에 $0$이 반복되는 부분을 생략하는 등의 표현법도 가능하다.
참고로 우리의 교재에서는 decimal 표현법은 사용하지 않을 것이기 때문에 더 자세한 논의는 하지 않는다고 한다. 우리도 decimal 표현법은 이정도로 알아보면 충분할 것이다.
The Extended Real Number System
1.23 Definition
The extended real number system (확장된 실수 체계)는 실수체 $\mathbb{R}$과 두 기호, $+\infty$ 와 $-\infty$로 구성된다. 우리는 기존의 order는 $\mathbb{R}$ 에서의 order을 유지하되, 모든 $x \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $-\infty < x < +\infty$ 로 정의한다.
이로써, $+\infty$는 확장된 실수 체계의 모든 subset의 upper bound이며, 이 확장된 실수 체계의 모든 nonempty subset은 least-upper-bound를 가진다. (확장된 실수 체게는 LUBP를 가진다.) 이 내용들은 lower bound들에 대해서도 성립한다.
확장된 실수 체계는 field 를 이루지 못하나, 보통 다음과 같은 규칙을 따른다.
-
만약 $x$가 실수이면, 다음 식들을 만족한다.
\[x + \infty = +\infty, \quad x - \infty = -\infty, \quad \frac{x}{+\infty} = \frac{x}{-\infty} = 0.\]
-
만약 $x>0$ 이면, $x \cdot (+\infty) = +\infty$ 이고, $x \cdot (-\infty) = -\infty$ 이다.
-
만약 $x>0$ 이면, $x \cdot (+\infty) = -\infty$ 이고, $x \cdot (-\infty) = +\infty$ 이다.
실수들과 두 기호 $+\infty$, $-\infty$를 구분짓고 싶을 때, 전자를 finite (유한) 이라고 부른다.
해설
이 정의에서는 확장된 실수 체계를 정의한다. 확장되었다는 의미는, 기존의 실수를 포함하면서 새로운 개념을 도입하였다는 것인데, 그것이 이번 정의에서 처음 등장한 무한대 기호인 것이다.
무한대 기호를 보면, 단독으로 쓰이지 않고 $+$ 혹은 $-$ 기호와 함께 사용되는 모습을 확인할 수 있다. 우리도 이 정의에 따라서 무한대 개념을 사용해야 하는 경우에 기호를 항상 포함시키도록 하겠다.
위에서 보면, 확장된 실수 체계가 field 를 이루지 못한다는 이야기가 나온다. 그런데 그 앞에서는 LUBP를 가진다는 이야기도 나온다. 헷갈릴 수 있기 때문에, 표를 이용하여 실수와 확장된 실수 체계를 비교해보도록 하겠다.
이 표의 내용을 하나씩 이야기 해보도록 하겠다.
우선, ordered set 에 대한 내용이다. ordered set은 정의에 따라 집합에 포함된 두 원소가 세 가지 관계 ($x < y$ 또는 $x = y$ 또는 $y < x$) 를 만족하면서, $x < y$ 이고 $y < z$ 이면 $x < z$ 인 방식으로 관계가 유지되어야 한다.
이건 모든 $x \in \R$ 에 대해서 $-\infty < x < +\infty$ 로 정의하였기 때문에 ordered set의 정의에 부합한다. 만약 의심이 된다면, 직접 이런저런 수를 넣어보면서 테스트 해보도록 하자.
다음은 field 에 대한 내용이다. 안타깝게도, 실수체와는 달리 확장된 실수 체계는 field 를 형성할 수 없다. field 에 덧셈과 곱셈에 대한 공리가 있었던 사실을 기억하는가? 그 공리에 따르면 모든 원소는 ‘역원’을 가져야 한다. 두 연산에서 모두 말이다. (물론 곱셈에서의 $0$의 역원은 존재하지 않는다는 예외가 있으니 주의하자.)
기존의 실수들은 모두 덧셈과 곱셈에서 모두 역원을 가졌지만, 확장된 실수 체계에서 $-\infty$ 와 $+\infty$ 는 곱셈에서와 덧셈에서 모두 ‘역원’이 존재하지 않는다. 그래서 field 에서의 덧셈과 곱셈이 만족해야하는 공리를 충족시키지 못하게 되고, 결국 확장된 실수 체계는 field 가 되지 못하는 것이다.
다음은 2가지 추가조건에 대한 이야기이다. 2가지 추가조건이라고만 써놔서 저게 도대체 무슨 소리인가 싶을 수 있다. 여기서 말한 2가지 추가조건은 ordered set 이면서 field 인 어떤 set 이 ordered field가 되기 위해서 충족해야 하는 2가지 추가조건인 것이다.
2가지 조건이 무엇인지 다시 살펴보자.
- $x,y,z \in F$ 이고 $y < z$ 이면, $x + y < x + z$ 이다.
- $x,y \in F$ 이고 $x>0$, $y>0$ 이면, $xy > 0$ 이다.
여기서 첫 번째 조건에서 문제가 하나 생긴다. 예를 들어, $y$와 $z$ 를 각각 $-\infty$와 $0$이라고 두고, $x$ 를 $+\infty$ 로 두게 되면, $y < z$ 의 경우 $-\infty < 0$ 이 제대로 성립하지만, 양쪽에 $x$ 를 더한 부등식의 경우, $-\infty + \infty < 0 + \infty$ 같은 식이 되는데, $-\infty + \infty$ 는 정의 자체가 안되어 있기 때문에 order를 매길 수도 없게 된다. 따라서, 두 가지 추가조건을 모두 만족하지는 않게 되는 것이다.
마지막으로, LUBP에 대한 내용을 살펴보자. LUBP의 정의를 다시 생각해보면, bounded above 되어있는 모든 subset이 least-upper-bound를 가진다는 것이 LUBP의 정의이다. 기존의 실수체는 LUBP를 가지고 있는 것을 보였는데, 확장된 실수 체계는 어떻게 LUBP를 가지는 것일까? 가능한 아래의 두 가지 케이스들을 고려해보면 쉽게 이해할 수 있다.
-
어떤 bounded above 된 subset이 $+\infty$를 포함하지 않는 경우:
이 경우는 사실 두 가지의 세부 케이스들로 나눌 수 있다. $-\infty$ 를 포함하거나, 포함하지 않는 경우로 나눌 수 있는데, 두 경우 모두 least-upper-bound를 가진다.
포함한다면, $-\infty$ 를 제외하고, 포함하지 않는다면 그대로 두었을 때, 그 집합은 실수채의 subset이 되고, 실수체의 LUBP로 인해 이 $-\infty$가 없거나 일시적으로 제외된 집합은 least-upper-bound를 가지게 된다.
이 subset이 처음부터 $-\infty$ 를 가지고 있지 않았다면 이야기는 여기서 끝나고, 가지고 있다 하더라도 모든 $x \in \R$ 에 대하여 $-\infty < x$ 이기 때문에, 가져온 least-upper-bound는 여전히 least-upper-bound로 남아있을 수 있는 것이다.
-
$+\infty$ 를 포함하는 경우:
이 경우는 least-upper-bound가 $+\infty$가 된다. 정의에 따라 모든 $x \in \R$ 에 대하여 $x < +\infty$ 이기 때문에, $+\infty$는 upper bound이고, 동시에 least-upper-bound 이게 되는 것이다.
이 두 가지 케이스에서 모두 확장된 실수 체계의 bounded above 된 subset은 least-upper-bound를 가지게 된다는 것을 알 수 있다. 여기서 2번째 케이스에는 bounded above 라는 표현이 없는걸 지적할 수도 있겠지만, $+\infty$를 원소로 가지는 시점에서 bounded above 하게 되는 것이다. 정의에 따라 확장된 실수 체계에서 $+\infty$ 큰 원소는 존재하지 않기 때문이다.
이를 통해 우리는 확장된 실수 체계가 LUBP를 가지는 ordered set이라는 결론에 다다르게 된다. $+\infty$ 와 $-\infty$를 포함하게 되면서 field의 성질은 잃어버리게 되지만, LUBP가 유지된다는 사실은 조금 신기하게 느껴진다. 확장된 실수 체계에 대한 설명은 여기서 마치도록 하겠다.
마무리
오늘 배운 내용들을 간단하게 요약해보겠다.
-
LUBP를 가진
ordered field가 존재하며, 그걸 실수체라 부르고 $\mathbb{R}$ 이라고 쓴다. -
실수체에서 성립하는
archimedean property에 대해 알아보고 이를 증명하였다. -
”$\mathbb{Q}$ is dense in $\mathbb{R}$” 이라고 불리는 정리에 대해 알아보고 이를 증명하였다.
-
어떤 양의 실수 $x$에 대하여 $n$ 제곱근이 항상 유일하게 존재한다는 정리가 성립함을 확인하였다.
-
decimal 표현법이 어떤 식으로 정의된 것인지 확인하였다.
-
$+\infty$ 와 $-\infty$ 기호를 포함한 확장된 실수 체계에 대해 알아보고 성질들을 탐구해보았다.
오늘의 해석학 공부는 여기까지!